「ことびき」を考えるにあたり「ことひ」という語が参考になるのではないかと思ってます。今でも山口県に「特牛」と書いて「こっとい」と読む地名（駅名のみ？）があります；古語でも「特牛」で「ことひ」です。頭の大きな牛、というのが直接的な意味のようです；そこから力強い牛、という意味になっています。

「ことびき」の「こと」は「特殊、特別」のことで、これは古語辞典でも確認できる。残る「ひ」は、どなたの説が忘れましたが「ひき、引き」が「ひ」に縮約されたものであろう、というのがありました。時代別国語大辞典上代編では「負ふ」（おふ）｛の活用形｝「おひ」の縮約であろう、とします。
　これを「ことびき」に応用すると「特別な蛙」という意味合いを見ることが出来そうです。

琉球では蛙のことを「あたびき」という。「あた」について考えてみる；「沖縄古語大辞典」には「あた・ぐゎほう＝思わぬ幸運（果報）」という語が載っています。すなわち「いろんな幸運の中でも｛思わぬ｝幸運、特別な幸運」という意味合いが観じられます。したがって琉球語でも「あたびき」は「蛙の中でも｛なんらかの意味で｝他と違う蛙」の意味であろうか、と思います。但し琉球では蛙の場合には「つまらない者のたとえ」というネガティブな意味に使われるようです。

同じ語が正反対の意味を持つに至ることは散見されます（結構な話だ：良い話なのか悪い話なのか。イイカゲン：本来良い加減だったものが悪い意味になる。適当：相応しく当を得ているのに悪い意味に使う。）

「ことひ＜ことひき、こと（お）ひ」での「こと」は牛が特別に有能であることを表したけど、「あたびき」の「あた」は蛙が特別につまらない蛙である、ということと理解します。さて「ことびき」の「こと」はどっちでしょうね。信仰されてる（？）とするらしいので蛙の中でも良い意味で特別な蛙なのかしら。。。